Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Chia các trường hợp của \(m\), xác định nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).

- Lập BBT của hàm số, tìm điều kiện để \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4\left( {{m^2} - 3m} \right)x\).

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4x\left[ {{x^2} - \left( {{m^2} - 3m} \right)} \right] = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} - 3m\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \({m^2} - 3m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 3\), khi đó ta có \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), thỏa mãn điều kiện hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)

TH2: \({m^2} - 3m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 0\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\), khi đó ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt {{m^2} - 3m}  = {x_1}\\x =  - \sqrt {{m^2} - 3m}  = {x_2}\end{array} \right.\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy: Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì \({x_1} \le 2\).

\( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 3m}  \le 2 \Leftrightarrow {m^2} - 3m \le 4 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 4\).

Kết hợp điều kiện (*) \( \Rightarrow m \in \left[ { - 1;0} \right) \cup \left( {3;4} \right]\).

Kết hợp 2 trường hợp \( \Rightarrow m \in \left[ { - 1;4} \right]\).  Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.