Phương pháp giải:

- $d \bot \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}$.

- Phương trình đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,4x + 3y - 7z + 1 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4;3; - 7} \right)$.

Vì $d \bot \left( \alpha  \right)$ nên đường thẳng $d$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4;3; - 7} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {1;2;3} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {4;3; - 7} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - 7t\end{array} \right.$.

Chọn B.