Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh \(AB = a,\)\(BC = 2a\). Hai mặt bên \(\left( {SAB} \right)\)và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), cạnh \(SA = a\sqrt {15} \). Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\).
- A \(60^\circ .\)
- B \(45^\circ .\)
- C \(30^\circ .\)
- D \(90^\circ .\)
Phương pháp giải:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng đó.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABD} \right)\).
\( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).
Xét tam giác vuông \(SAC\): \(\tan \angle SCA = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{a\sqrt 5 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle SCA = {60^0}.\)
Vậy \(\angle \left( {SC;\left( {ABD} \right)} \right) = {60^0}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
