Phương pháp giải:

- Viết phương trình tham số của đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tham số hóa tọa độ \(A'\) thuộc đường thẳng \(AA'\) theo biến \(t\).

- Thay tọa độ điểm \(A'\) vào phương trình mặt phẳng tìm \(t\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_{AA'}}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\).

Gọi \(A'\left( {1 + t;\,\,2 - 2t;\,\, - 1 + t} \right) \in AA'\). Vì \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên \(mp\left( P \right)\) nên \(A' \in \left( P \right)\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + t - 2\left( {2 - 2t} \right) - 1 + t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 1 + t - 4 + 4t - 1 + t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)

Vậy \(A'\left( {2;0;0} \right)\).

Chọn B.