Phương pháp giải:

- Viết phương trình mặt phẳng$\left( P \right)$ đi qua A và vuông góc với d.

- Tìm tọa độ điểm $M = d \cap \left( P \right)$.

- Đường thẳng ${d_1}$ chính là đường thẳng đi qua $A,\,\,M$.

- Phương trình đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi mặt phẳng $\left( P \right)$là mặt phẳng đi qua $A\left( {0;1;2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}$

Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;1} \right)$.

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $2\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2x - y + z - 1 = 0$.

Gọi $M = d \cap \left( P \right)$.

$\begin{array}{l}M \in d \Rightarrow M\left( {4 + 2t;\,\,1 - t;\,\,t} \right)\\M \in \left( P \right):\,\,2x - y + z - 1 = 0\\ \Rightarrow 2\left( {4 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\\ \Rightarrow M\left( {2;2; - 1} \right)\end{array}$

Khi đó đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ đi qua $A\left( {0;1;2} \right),\,\,M\left( {2;2; - 1} \right)$ nhận $\overrightarrow {AM}  = \left( {2;1; - 3} \right)$ là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng ${d_1}$ là: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}$.

Chọn D.