Phương pháp giải:

Thể tích hình chóp $V = \dfrac{1}{3}S.h$ với $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao hình chóp

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Vì $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$

Gọi $D$ là trung điểm của $BC \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD$

Vì $AD$ là đường trung tuyến trong tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$$\Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD$$= \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Ta có $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow$ góc giữa cạnh bên $SA$ và đáy là góc giữa $SA$ và $AH$, hay là góc $SAH$

Theo đề bài ta có

$\widehat {SAH} = {45^0} \Rightarrow \Delta SAH$ vuông cân tại $H \Rightarrow SH = AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Diện tích tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ là $\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SH$$= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$$= \dfrac{{{a^3}}}{{12}}$

Chọn B.