Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ $V = S.h$ với $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao lăng trụ

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $BC = AB = a$

Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{{{a^2}}}{2}$

Thể tích khối trụ $V = {S_{ABC}}.AA'$ $= \dfrac{1}{2}{a^2}.a = \dfrac{{{a^3}}}{3}$

Chọn A.