Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( R \right)\\\left( Q \right) \bot \left( R \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( R \right)$.

- Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, trong $\left( {SAM} \right)$ kẻ $AH \bot SM$, chứng minh $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

- Xác định góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)$.

Vì $\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}$ $\Rightarrow \Delta ABC$ đều cạnh $2a\sqrt 3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC \Rightarrow AM \bot BC$ và $AM = 2a\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3a$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)$.

Trong $\left( {SAM} \right)$ kẻ $AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)$ $\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Vì $BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM$, khi đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.$

$\Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SAM = {45^0}$.

Xét tam giác vuông $AHM$ có $AH = AM.\sin {45^0} = 3a.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.

Chọn A.