Phương pháp giải:

Trong $\left( {ABCD} \right),$ kẻ $AH \bot BD$

Trong $\left( {SAH} \right),$ kẻ $AK \bot SH \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)$

$\Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = AK.$

Lời giải chi tiết:

Trong $\left( {ABCD} \right),$ kẻ $AH \bot BD$

Trong $\left( {SAH} \right),$ kẻ $AK \bot SH$  

Ta có:  $\Rightarrow BD \bot AK$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SH\\AK \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)$  $\Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = AK.$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta ABD$ vuông tại $A$ và có đường cao $AH$ ta có:

$AH = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }}$ $= \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta SAH$ vuông tại $A$ và có đường cao $AK$ ta có:

$AK = \frac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} }}$$= \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{3}}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{3}}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}$

Chọn B.