Phương pháp giải:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia, gọi $N$ là trung điểm của $BC$, chứng minh $d\left( {BM;SD} \right) = d\left( {M;\left( {SDN} \right)} \right)$.

- Đổi tính khoảng cách từ $M$ đến $\left( {SDN} \right)$ sang tính khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SDN} \right)$.

- Chứng minh $DN \bot \left( {SAN} \right)$.

- Trong $\left( {SAN} \right)$ kẻ $AH \bot SN$, chứng minh $AH \bot \left( {SDN} \right)$.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tính chất tam giác vuông cân để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}DM = BN\\DM\parallel BN\end{array} \right.$ $\Rightarrow BNDM$ là hình bình hành $\Rightarrow BM\parallel DN$.

$\Rightarrow BM\parallel \left( {SDN} \right) \supset SD$ $\Rightarrow d\left( {BM;SD} \right) = d\left( {BM;\left( {SDN} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SDN} \right)} \right)$.

Ta có: $AM \cap \left( {SDN} \right) = D \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SDN} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SDN} \right)} \right)}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( {M;\left( {SDN} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SDN} \right)} \right)$.

Trong $\left( {ABCD} \right)$ gọi $I$ là trung điểm của $BM$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AM = BN\\AM\parallel BN\end{array} \right. \Rightarrow AMNB$ là hình bình hành, do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên $I$ cũng là trung điểm của $AN$, hay $A,\,\,I,\,\,N$ thẳng hàng.

Xét $\Delta ABM$ có $AB = AM = a \Rightarrow \Delta ABM$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow AI \bot BM$ $\Rightarrow AN \bot DN$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}DN \bot AN\\DN \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DN \bot \left( {SAN} \right)$.

Trong $\left( {SAN} \right)$ kẻ $AH \bot SN\,\,\left( {H \in SN} \right)$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SN\\AH \bot DN\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SDN} \right)$ $\Rightarrow d\left( {A;\left( {SDN} \right)} \right) = AH$.

Tam giác $ABM$ vuông cân cạnh $a$ $\Rightarrow BM = a\sqrt 2  = AN$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAN$ có: $AH = \dfrac{{SA.AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Vậy $d\left( {BM;SD} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$ .

Chọn C.