Phương pháp giải:

+ Trong $\left( {ABCD} \right)$ gọi $I = AN \cap BM$. Chứng minh $AN \bot BM$ tại $I$.

+ Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

+ Trong $\left( {SAI} \right)$ kẻ $AH \bot SI\,\,\left( {H \in SI} \right)$, chứng minh $AH \bot \left( {SBM} \right)$.

+ Đổi tính $d\left( {D;\left( {SBM} \right)} \right)$ sang tính $d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Trong $\left( {ABCD} \right)$ gọi $I = AN \cap BM$.

+ Xét $\Delta ADN$ và $\Delta ABM$ có: $AD = AB,\,\,DN = BM$.

$\Rightarrow \Delta ADN = \Delta ABM$ (2 cạnh góc vuông) $\Rightarrow \angle NAD = \angle MBA$.

Mà $\angle NAD + \angle NAB = \angle BAD = {90^0}$ $\Rightarrow \angle MBA + \angle NAB = {90^0}$ $\Rightarrow \Delta ABI$ vuông tại $I$ hay $AI \bot BM$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AI\\BM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BM \bot SI$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBM} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BM\\SI \subset \left( {SBM} \right),\,\,SI \bot BM\\AI \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AI \bot BM\end{array} \right.$ $\Rightarrow \angle \left( {\left( {SBM} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SI;AI} \right) = \angle SIA = {45^0}$.

Trong (SAI) kẻ $AH \bot SI\,\,\left( {H \in SI} \right)$

+ $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SI\\AH \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBM} \right)$ $\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right) = AH$.

+ $DA \cap \left( {SBM} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {D;\left( {SBM} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right)}} = \dfrac{{DM}}{{AM}} = 1$ $\Rightarrow d\left( {D;\left( {SBM} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right) = AH$.

+ $\Delta SAI$ có $\angle SIA = {45^0}$ nên là tam giác vuông cân tại A $\Rightarrow AH = \dfrac{{SA\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy $d\left( {D;\left( {SBM} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.