Phương pháp giải:

- Trong $\left( {SBC} \right)$ dựng $SH \bot BC$, chứng minh $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $BH$, từ đó tính $CH$.

- Đổi tính $d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)$ sang tính $d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)$.

- Trong $\left( {ABC} \right)$ kẻ $HM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right)$, trong $\left( {SHM} \right)$ kẻ $HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)$. Chứng minh $HK \bot \left( {SAC} \right)$

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $HK$.

Lời giải chi tiết:

Trong $\left( {SBC} \right)$ dựng $SH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right),\,\,SH \bot BC\end{array} \right.$ $\Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$.

+ $HB \cap \left( {SAC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{{HC}}{{BC}}$.

+ $BH = SB.\cos {30^0} = 3a$, $BC = 4a \Rightarrow HC = a$.

$\Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{a}{{4a}} = \dfrac{1}{4}$ $\Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 4d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)$.

Trong $\left( {ABC} \right)$ kẻ $HM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right)$, trong $\left( {SHM} \right)$ kẻ $HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HM\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AC \bot HK$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SM\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)$ $\Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK$.

Trong $\left( {ABC} \right)$ kẻ $BN \bot AC\,\,\left( {N \in AC} \right)$ $\Rightarrow BN\parallel HM$.

+ $\Delta ABC:\,\,BN = \dfrac{{AB.BC}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{3a.4a}}{{\sqrt {3{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{12a}}{5}$.

+ $BN\parallel HM \Rightarrow \dfrac{{HM}}{{BN}} = \dfrac{{HC}}{{BC}} = \dfrac{1}{4}$.

$\Rightarrow HM = \dfrac{1}{4}BN = \dfrac{{3a}}{5}$.

+ $\Delta SBH:\,\,SH = SB.\sin {30^0} = a\sqrt 3$.

+ $\Delta SHM:\,\,HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{3a}}{5}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{9{a^2}}}{{25}}} }} = \dfrac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}$.

Vậy $d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 4d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{6a\sqrt 7 }}{7}$.