Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Sử dụng công thức lượng giác:  \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(C = {(3\sin \alpha  + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha  - 3\cos \alpha } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}C = {\left( {3\sin \alpha  + 4\cos \alpha } \right)^2} + {\left( {4\sin \alpha  - 3\cos \alpha } \right)^2}\\ = 9{\sin ^2}\alpha  + 24\sin \alpha \cos \alpha  + 16{\cos ^2}\alpha  + 16{\sin ^2}\alpha  - 24\sin \alpha \cos \alpha  + 9{\cos ^2}\alpha \\ = 25{\sin ^2}\alpha  + 25{\cos ^2}\alpha \\ = 25\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 25.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Sử dụng công thức lượng giác:  \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha  + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha  - 25{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3}}{{\frac{{27{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25}} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha  + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha  - 25}}\)

Thay \(\tan \alpha  = \frac{2}{3}\) vào biểu thức \(M\) ta có:

\(M = \frac{{{{\tan }^3}\alpha  + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha  - 25}} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} =  - \frac{{89}}{{459}}.\)

Chọn C.