Phương pháp giải:

- Đặt $t = \tan x$, tìm khoảng giá trị của t ứng với $x \in \left( {0  ;\dfrac{\pi }{4}} \right)$.

- Viết hàm số theo biến t.

- Tính y’. Tìm điều kiện của m để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = \tan x$, với $x \in \left( {0  ;\dfrac{\pi }{4}} \right)$$\Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)$.

Khi đó hàm số trở thành $y = \dfrac{{mt + 1}}{{4t + m}}$.

ĐKXĐ: $t \ne  - \dfrac{m}{4}$.

Ta có: $y' = \dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {4t + m} \right)}^2}}}$.

Để $y' > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)$ thì $\dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {4t + m} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right),\,\,t \ne  - \dfrac{m}{4}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\ - \dfrac{m}{4} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{m}{4} \le 0\\ - \dfrac{m}{4} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le  - 4\end{array} \right.\end{array} \right.$.

Vậy $m \in \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn B.