Câu hỏi:

Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt {x - \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} }  + \sqrt {x + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4\left( {x - 1} \right)} }}.\left( {1 - \frac{1}{{x - 1}}} \right),\)trong đó \(x > 1,x \ne 2\).

Câu 1:

Rút gọn biểu thức \(A\).

  • A \(A = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\,1 < x < 2\\\frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)
  • B \(A = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\, x < 2\\\frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)
  • C \(A = \frac{ - 2}{x - 1}\)
  • D \(A = \frac{ - 2}{\sqrt{x - 1}}\)

Phương pháp giải:

Biến đổi các biểu thức trong căn bậc hai, xét từng trường hợp rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \ne 2.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt {x - 4\left( {x - 1} \right)}  + \sqrt {x + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}.\left( {1 - \frac{1}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1}  + 1}  + \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  + 1} }}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}.\left( {\frac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1}  + 1} \right|}}{{\left| {x - 2} \right|}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\end{array}\)

+) Nếu \(1 < x < 2\) thì \(\left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| = 1 - \sqrt {x - 1} \)

\( \Rightarrow A = \frac{{1 - \sqrt {x - 1}  + \sqrt {x - 1}  + 1}}{{ - \left( {x + 2} \right)}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\)\( = \frac{2}{{2 - x}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{ - 2}}{{x - 1}}\)

+) Nếu \(x > 2\) thì \(\left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| = \sqrt {x - 1}  - 1\)

\( \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {x - 1}  - 1 + \sqrt {x - 1}  + 1}}{{x - 2}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\)\( = \frac{{2\sqrt {x - 1} }}{{x - 2}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\)

Vậy \(A = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\,1 < x < 2\\\frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)

Chọn A.


Câu 2:

Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của biểu thức \(A\) là số nguyên.

  • A \(x = 1\)
  • B \(x = 2\)
  • C \(x = 3\)
  • D \(x = 5\)

Phương pháp giải:

A là số nguyên khi tử số chia hết cho mẫu số.

Lời giải chi tiết:

TH1: Nếu \(1 < x < 2\) thì \(A = \frac{{ - 2}}{{x - 1}}\).

Để A  nhận giá trị nguyên thì \(x - 1\) phải là ước dương của 2 (vì \(x\) nguyên và \(x > 1)\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\\x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3\end{array} \right.\), không thỏa mãn \(1 < x < 2\).

TH2: Nếu \(x > 2\) thì \(A = \frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\)

Vì \(x\) nguyên, \(x > 2\) nên \(x - 1\) nguyên và \(x - 1 > 1\).

Nếu \(x - 1\) không là số chính phương thì \(A\) là số vô tỉ.

Nếu \(x - 1\) là số chính phương, \(A\) nhận giá tri nguyên nên \(\sqrt {x - 1} \) là ước lớn hơn 1 của 2

\( \Rightarrow \sqrt {x - 1}  = 2 \Leftrightarrow x = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(x = 5\) thì \(A\) nhận giá tri nguyên.

Chọn D.



Quảng cáo

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay