Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh $BD = 2AH$

Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A \Rightarrow AH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý)

$\Rightarrow H$trung điểm $BC$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AH//BD$

Xét $\Delta CBD$ có:

$H$ trung điểm $BC$(cmt)

$AH//BD$(cmt)

 là đường trung bình của $\Delta ABD$(định lý đảo)

$\Rightarrow AH = \frac{1}{2}BD\left( {tc} \right) \Leftrightarrow BD = 2AH$ (đpcm)

b) Chứng minh $\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}$

Xét $\Delta CBD$ vuông tại $B$ có:

$BK$ là đường cao ứng với cạnh huyền $DC$

$\Rightarrow \frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{B{D^2}}}$(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà $BD = 2AH$

$\Rightarrow \frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}$(đpcm)