Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh \(BD = 2AH\)

Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý)

\( \Rightarrow H\)trung điểm \(BC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AH//BD\)

Xét \(\Delta CBD\) có:

\(H\) trung điểm \(BC\)(cmt)

\(AH//BD\)(cmt)

 là đường trung bình của \(\Delta ABD\)(định lý đảo)

\( \Rightarrow AH = \frac{1}{2}BD\left( {tc} \right) \Leftrightarrow BD = 2AH\) (đpcm)

b) Chứng minh \(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}\)

Xét \(\Delta CBD\) vuông tại \(B\) có:

\(BK\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(DC\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{B{D^2}}}\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà \(BD = 2AH\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}\)(đpcm)