Phương pháp giải:

Giả sử tam giác đã cho là \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  có \(AB < AC,\,\,\,BC = 5,\,\,\,AH = 2.\)

Đặt \(BH = x\,\,\,\left( {0 < x < 2,5} \right).\)

Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lý Pitago để tính \(x\) và từ đó suy ra độ dài các cạnh của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Giả sử tam giác đã cho là \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  có \(AB < AC,\,\,\,BC = 5,\,\,\,AH = 2.\)

Đặt \(BH = x\,\,\,\left( {0 < x < 2,5} \right) \Rightarrow HC = 5 - x.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH \Leftrightarrow {2^2} = x\left( {5 - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A{B^2} = BC.BH = 5.1 = 5 \Leftrightarrow AB = \sqrt 5 .\)

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác đã cho có độ dài là \(\sqrt 5 .\)

Chọn A.