Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\) để tính đạo hàm của hàm số.

- Giải bất phương trình, tìm nghiệm nguyên.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \({x^2} + 2x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le  - 2\end{array} \right.\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2x} }} = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}\).

Khi đó \(f'\left( x \right) \ge f\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }} \ge \sqrt {{x^2} + 2x} \\ \Leftrightarrow x + 1 \ge {x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \le x \le \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ ta có: \(x \in \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}; - 2} \right] \cup \left[ {0;\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\).

Suy ra phương trình trên có 2 nghiệm nguyên là \(x = 0,\,\,x =  - 2\).

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình trên là 2.

Chọn D.