Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết:

Xét $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có: $S$ chung; $AD\parallel BC$.

$\Rightarrow$ Giao tuyến của $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $AD,\,\,BC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $\Rightarrow BC \bot SB$. Mà $d\parallel BC \Rightarrow d \bot SB$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\\\left( {SAD} \right) \supset SA \bot d\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot d\end{array} \right.$ $\Rightarrow \angle \left( {\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SB} \right) = \angle ASB$.

Xét tam giác vuông $SAB$ ta có: $\tan \angle ASB = \dfrac{{AB}}{{SA}} = \dfrac{a}{a} = 1$ $\Rightarrow \angle ASB = {45^0}$.

Vậy $\angle \left( {\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = {45^0}$.

Chọn A.