Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,\,\,SC$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, ta có: $ADCE$ là hình vuông nên $CE = AD = a = \dfrac{1}{2}AB$, suy ra tam giác $ACB$ vuông tại $C$ (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SC\\AK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAC} \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot SB$.

Mà $SB \bot AH \Rightarrow SB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SB \bot HK$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\\\left( {SAB} \right) \supset HK \bot SB\end{array} \right.$ $\Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SH;HK} \right) = \angle SHK$.

Vì $AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot HK$, suy ra tam giác $AHK$ vuông tại $H$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAB$ ta có: $AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} }} = a\sqrt 2$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ACD$ có: $AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAC$ ta có: $AK = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{2a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Xét tam giác vuông $AHK$ có: $\sin \angle AHK = \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$

$\Rightarrow \cos \angle AHK = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\angle AHK}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $\tan \angle AHK = \dfrac{{\sin \angle AHK}}{{\cos \angle AHK}} = \sqrt 2$ hay $\tan \alpha  = \sqrt 2$.

Chọn A.