Phương pháp giải:

+) Gọi $B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)$ với $\,{y_0} > 0$.

+) Vì $A$ là một điểm nằm trên trục $Ox$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$.

+) Xác định khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$.

+) Để $\Delta ABC$ đều thì $\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)$ với $\,{y_0} > 0$.

Vì $B,\,\,C$ nằm trên elip $\left( E \right)$ nên ta có: $\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{3} = 1 \Leftrightarrow x_0^2 + 3y_0^2 = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {{x_0} - {x_0};\, - {y_0} - {y_0}} \right) = \left( {0;\,\, - 2{y_0}} \right)$

Ta có: $\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm qua}\nolimits} \,B\left( {{x_0};{y_0}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \left( {2{y_0};\,\,0} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) + 0.\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - {x_0} = 0$

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $x - {x_0} = 0$

Vì $A\left( {3;\,\,0} \right)$ nên $A \in Ox$, $B$ và $C$ đối xứng qua $Ox$ nên $\Delta ABC$ cân tại $A$.

Để $\Delta ABC$ là tam giác đều thì $\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}$

$\Rightarrow \tan {60^0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\frac{{2{y_0}}}{2}}} \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{{y_0}}} \Leftrightarrow \left| {3 - {x_0}} \right| = {y_0}\sqrt 3  \Leftrightarrow {y_0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được:

$x_0^2 + 3.{\left( {\frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow x_0^2 + {\left( {3 - {x_0}} \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow x_0^2 + 9 - 6{x_0} + x_0^2 = 9$$\Leftrightarrow 2x_0^2 - 6{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 3\end{array} \right.$

+) Với ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = \sqrt 3  \Rightarrow B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)$

+) Với ${x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow$Loại

Vậy $B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)$.

Chọn  A.