Phương pháp giải:

+) Gọi \(B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)\) với \(\,{y_0} > 0\).

+) Vì \(A\) là một điểm nằm trên trục \(Ox\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

+) Xác định khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\).

+) Để \(\Delta ABC\) đều thì \(\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)\) với \(\,{y_0} > 0\).

Vì \(B,\,\,C\) nằm trên elip \(\left( E \right)\) nên ta có: \(\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{3} = 1 \Leftrightarrow x_0^2 + 3y_0^2 = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {{x_0} - {x_0};\, - {y_0} - {y_0}} \right) = \left( {0;\,\, - 2{y_0}} \right)\)

Ta có: \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm qua}\nolimits} \,B\left( {{x_0};{y_0}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \left( {2{y_0};\,\,0} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) + 0.\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x - {x_0} = 0\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(x - {x_0} = 0\)

Vì \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) nên \(A \in Ox\), \(B\) và \(C\) đối xứng qua \(Ox\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).

Để \(\Delta ABC\) là tam giác đều thì \(\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}\)

\( \Rightarrow \tan {60^0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\frac{{2{y_0}}}{2}}} \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{{y_0}}} \Leftrightarrow \left| {3 - {x_0}} \right| = {y_0}\sqrt 3  \Leftrightarrow {y_0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(x_0^2 + 3.{\left( {\frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow x_0^2 + {\left( {3 - {x_0}} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow x_0^2 + 9 - 6{x_0} + x_0^2 = 9\)\( \Leftrightarrow 2x_0^2 - 6{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 3\end{array} \right.\)

+) Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = \sqrt 3  \Rightarrow B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)\)

+) Với \({x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow \)Loại

Vậy \(B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)\).

Chọn  A.