Phương pháp giải:

+) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\left( d \right)\) qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) có dạng: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

+) Tìm điều kiện để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm phân biệt để từ đó xác định \(k\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử phương trình tổng quát của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) với hệ số góc \(k\) có dạng:\(y = k\left( {x - 1} \right) + 1\)

Giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( E \right)\)là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = k\left( {x - 1} \right) + 1\\4{x^2} + 9{y^2} = 36\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 4{x^2} + 9{\left[ {k\left( {x - 1} \right) + 1} \right]^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 9{\left( {kx - k + 1} \right)^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 9\left[ {{{\left( {kx - k} \right)}^2} + 2\left( {kx - k} \right) + 1} \right] = 36\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 9\left( {{k^2}{x^2} - 2{k^2}x + {k^2}} \right) + 18\left( {kx - k} \right) + 9 = 36\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 9{k^2}{x^2} - 18{k^2}x + 9{k^2} + 18kx - 18k - 25 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {9{k^2} + 4} \right){x^2} + 18k\left( {1 - k} \right)x + 9{k^2} - 25 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(MA = MB\) khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_A},\,\,{x_B}\) sao cho :

\(\begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 18k\left( {1 - k} \right)}}{{2\left( {9{k^2} + 4} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow  - 18k\left( {1 - k} \right) = 2\left( {9{k^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow  - 18k + 18{k^2} = 18{k^2} + 8\\ \Leftrightarrow  - 18k = 8 \Leftrightarrow k =  - \frac{4}{9}\end{array}\)

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là:

\(y =  - \frac{4}{9}\left( {x - 1} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow y =  - \frac{4}{9}x + \frac{4}{9} + 1\)\( \Leftrightarrow y =  - \frac{4}{9}x + \frac{{13}}{9}\)\( \Leftrightarrow 4x + 9y - 13 = 0\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là: \(4x + 9y - 13 = 0.\)

Chọn C.