Phương pháp giải:

+) Xác định tiêu điểm của elip ${F_1}\left( {c;\,\,0} \right),\,\,{F_2}\left( { - c;\,\,0} \right)$.

+) Điểm $N$thuộc elip và nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nghĩa là: $\overrightarrow {{F_1}N} \,.\,\,\overrightarrow {{F_2}N}  = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 9 - 1 = 8$$\Rightarrow c = 2\sqrt 2$

$\Rightarrow$ Hai tiêu điểm của elip $\left( E \right)$ là ${F_1}\left( {2\sqrt 2 ;\,\,0} \right)$ và ${F_2}\left( { - 2\sqrt 2 ;\,\,0} \right)$.

Gọi $N\left( {x;\,\,y} \right) \in \left( E \right)$ là điểm cần tìm.

$\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}N}  = \left( {x - 2\sqrt 2 ;\,\,y} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}N}  = \left( {x + 2\sqrt 2 ;\,\,y} \right)$

Theo đề bài, từ $N$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nên ta có: $\overrightarrow {{F_1}N} \,.\,\,\overrightarrow {{F_2}N}  = 0$

$\Rightarrow \left( {x - 2\sqrt 2 } \right)\left( {x + 2\sqrt 2 } \right) + {y^2} = 0$

$\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 8 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác $N\left( {x;\,\,y} \right) \in \left( E \right)$ nên $\,\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Rightarrow \,\frac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1$$\Rightarrow {y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{9}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}{x^2} + 1 - \frac{{{x^2}}}{9} - 8 = 0 \Leftrightarrow \frac{{8{x^2}}}{9} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow 8{x^2} = 63 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{63}}{8} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\\x =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}$

+) Với $x = \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}$ thay vào ${y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{9}$ ta được: ${y^2} = 1 - \frac{{63}}{{72}} = \frac{1}{8} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\y =  - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.$

$\Rightarrow {N_1}\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\,\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right),\,{N_2}\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\, - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)$

+) Với $x =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}$ thay vào ${y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{9}$ ta được: ${y^2} = 1 - \frac{{63}}{{72}} = \frac{1}{8} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\y =  - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.$

$\Rightarrow {N_3}\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\,\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right),\,{N_4}\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\, - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)$

Vậy có $4$ điểm thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn D.