Phương pháp giải:

Cho elip $\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và đường thẳng $d:Ax + By + C = 0$.

Điều kiện để đường thẳng $d$ tiếp xúc với $\left( E \right)$ là ${A^2}{a^2} + {B^2}{b^2} = {C^2}.$

Lời giải chi tiết:

Điểm $M$ chuyển động trên trục $Ox$ và điểm $N$ chuyển động trên trục $Oy$.

$\Rightarrow M\left( {m;\,\,0} \right),\,N\left( {0;\,\,n} \right)$ với $m > 0,\,\,n > 0$.

Phương trình đường thẳng $MN$: $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$

Để đường thẳng $MN$ tiếp xúc với elip $\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ thì: ${\left( {\frac{1}{m}} \right)^2} \cdot 16 + {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} \cdot 9 = 1$

Ta có: $M\left( {m;\,\,0} \right),\,\,N\left( {0;\,\,n} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - m;\,\,n} \right)$$\Rightarrow MN = \sqrt {{m^2} + {n^2}}$

$\Rightarrow M{N^2} = {m^2} + {n^2} = \left( {{m^2} + {n^2}} \right).1$$= \left( {{m^2} + {n^2}} \right) \cdot \left( {\frac{{16}}{{{m^2}}} + \frac{9}{{{n^2}}}} \right)$$= 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$M{N^2} = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \ge 25 + 2\sqrt {16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} \cdot 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}}  = 49$

$\Rightarrow M{N^2} \ge 49$

$\Rightarrow MN \ge 7$

Dấu “$=$” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16{n^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{9{m^2}}}{{{n^2}}}\\{m^2} + {n^2} = 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\sqrt 7 \\n = \sqrt {21} \end{array} \right.$ (thõa mãn điều kiện)

Vậy $M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)$ và $N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)$ thì $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $7.$

Chọn B.