Phương pháp giải:

- Từ giả thiết \(w = \left( {3 + 4i} \right)z + i\) rút \(z\) theo \(w\).

- Thế vào giả thiết \(\left| z \right|\; = 4\), sử dụng công thức \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\).

- Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) thỏa mãn \(\left| {w - \left( {a + bi} \right)} \right| = R\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bám kính \(R\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(w = \left( {3 + 4i} \right)z + i \Leftrightarrow \left( {3 + 4i} \right)z = w - i\)\( \Leftrightarrow z = \frac{{w - i}}{{3 + 4i}}\).

Theo bài ra ta có:

 \(\begin{array}{l}\left| z \right|\; = 4 \Leftrightarrow \left| {\frac{{w - i}}{{3 + 4i}}} \right| = 4 \Leftrightarrow \frac{{\left| {w - i} \right|}}{{\left| {3 + 4i} \right|}} = 4\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {w - i} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left| {w - i} \right| = 20\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \(I\left( {0;1} \right)\), bán kính \(r = 20\).

Chọn C.