Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa $SB$ và mặt đáy là góc giữa $SB$ và hình chiếu của $SB$ trên mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác tính chiều cao $SA$ của khối chóp.

- Tính thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có$SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $\left( {ABC} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle SBA = {30^0}.$

Tam giác SAB vuông tại A $\Rightarrow SA = AB.\tan \angle SBA = a\sqrt 3 .\tan {30^0} = a.$

Tam giác ABC đều cạnh $a\sqrt 3  \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}$

Thể tích khối chóp S.ABC là: $V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}.$

Chọn A.