Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa \(SB\) và mặt đáy là góc giữa \(SB\) và hình chiếu của \(SB\) trên mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác tính chiều cao \(SA\) của khối chóp.

- Tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có\(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle SBA = {30^0}.\)

Tam giác SAB vuông tại A \( \Rightarrow SA = AB.\tan \angle SBA = a\sqrt 3 .\tan {30^0} = a.\)

Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt 3  \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)

Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}.\)

Chọn A.