Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, mặt bên (SBC) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm B và vuông góc với SC, chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Phương pháp giải:
- Gọi I là trung điểm của BC, chứng minh SI⊥(ABC).
- Kẻ IH⊥SC, chứng minh SC⊥(AHI).
- Qua B dựng mặt phẳng song song với (AHI), chứng minh đó là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC.
- Sử dụng tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC, các điểm A′,B′,C′ lần lượt thuộc SA,SB,SC, khi đó ta có VS.A′B′C′VS.ABC=SA′SA.SB′SB.SC′SC.
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên SI⊥BC.
Ta có: {(SBC)⊥(ABC)(SBC)∩(ABC)=BC(SBC)⊃SI⊥BC ⇒SI⊥(ABC).
Vì tam giác ABC cân tại A (gt) nên AI⊥BC, lại có AI⊥SI (do SI⊥(ABC)) nên suy ra AI⊥(SBC), do đó AI⊥SC.
Gọi K là trung điểm của SC, do ΔSBC đều nên BK⊥SC, trong (SBC) kẻ IH∥BK(H∈SC) ⇒IH⊥SC.
Ta có: {IH⊥SCAI⊥SC⇒SC⊥(AHI).
Trong (SAC) kẻ KN∥AH(N∈SA) ta có: {BK∥IHKN∥AH⇒(BKN)∥(AHI).
Mà SC⊥(AHI)⇒SC⊥(BKN).
Do đó mặt phẳng qua B và vuông góc với SC chính là (BKN). Mặt phẳng (BKN) chia khối chóp đã cho thành hai phần. Đặt V1=VS.BKN, V2=VBKN.ABC.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
HCHK=ICIB=1⇒HK=HC=12CK=12SK⇒SKSH=23=SNSA⇒VSBKNVSBCA=SKSC.SNSA=12.23=13⇒V1=VSBKN=13VSBCA=13VS.ABC⇒V2=23VS.ABC
Vậy V1V2=13:23=12.
Chọn A.