Phương pháp giải:

- Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, chứng minh $SI \bot \left( {ABC} \right)$.

- Kẻ $IH \bot SC$, chứng minh $SC \bot \left( {AHI} \right)$.

- Qua $B$ dựng mặt phẳng song song với $\left( {AHI} \right)$, chứng minh đó là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $SC$.

- Sử dụng tỉ số thể tích: Cho hình chóp $S.ABC$, các điểm $A',\,\,B',\,\,C'$ lần lượt thuộc $SA,\,\,SB,\,\,SC$, khi đó ta có $\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, do tam giác $SBC$ đều nên $SI \bot BC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SI \bot BC\end{array} \right.$ $\Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)$.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên $AI \bot BC$, lại có $AI \bot SI$ (do $SI \bot \left( {ABC} \right)$) nên suy ra $AI \bot \left( {SBC} \right)$, do đó $AI \bot SC$.

Gọi $K$ là trung điểm của $SC$, do $\Delta SBC$ đều nên $BK \bot SC$, trong $\left( {SBC} \right)$ kẻ $IH\parallel BK\,\,\left( {H \in SC} \right)$ $\Rightarrow IH \bot SC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SC\\AI \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AHI} \right)$.

Trong $\left( {SAC} \right)$ kẻ $KN\parallel AH\,\,\left( {N \in SA} \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BK\parallel IH\\KN\parallel AH\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BKN} \right)\parallel \left( {AHI} \right)$.

Mà $SC \bot \left( {AHI} \right) \Rightarrow SC \bot \left( {BKN} \right)$.

Do đó mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $SC$ chính là $\left( {BKN} \right)$. Mặt phẳng $\left( {BKN} \right)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần. Đặt ${V_1} = {V_{S.BKN}}$, ${V_2} = {V_{BKN.ABC}}$.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{HC}}{{HK}} = \dfrac{{IC}}{{IB}} = 1 \Rightarrow HK = HC = \dfrac{1}{2}CK = \dfrac{1}{2}SK\\ \Rightarrow \dfrac{{SK}}{{SH}} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{{SN}}{{SA}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_{SBKN}}}}{{{V_{SBCA}}}} = \dfrac{{SK}}{{SC}}.\dfrac{{SN}}{{SA}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow {V_1} = {V_{SBKN}} = \dfrac{1}{3}{V_{SBCA}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABC}}\\ \Rightarrow {V_2} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABC}}\end{array}$

Vậy $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}.$

Chọn A.