Phương pháp giải:

- Tìm chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

- Thể tích của khối chóp có chiều  cao bằng \(h\) và diện tích đáy \(S\) được tính bởi công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Do tam giác \(SAB\) là tam giác đều nên \(SH \bot AB\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right);\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Tam giác \(SAB\) là tam giác đều có cạnh bằng \(a\)  nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(AB = a\) nên \({S_{ABCD}} = {a^2}\).

Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)

Chọn B.