Phương pháp giải:

Cho tứ diện\(S.ABC\). Các điểm \(M,N,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(SA,\,\,SB,\,\,SC\)sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = x,\,\,\dfrac{{SN}}{{SB}} = y,\,\,\dfrac{{SP}}{{SC}} = z\)  thì   \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = xyz\)

Sử dụng bài toán phụ trên để tính tỉ số \(\dfrac{{{V_{ABCDMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\).

Lời giải chi tiết:

Sử dụng bài toán phụ sau:

Cho tứ diện\(S.ABC\). Các điểm \(M,N,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(SA,\,\,SB,\,\,SC\)sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = x,\,\,\dfrac{{SN}}{{SB}} = y,\,\,\dfrac{{SP}}{{SC}} = z\)  thì   \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = xyz\)

Áp dụng:

\(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,SB\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SC}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.1 = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\\\dfrac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SC}}{{SC}}.\dfrac{{SD}}{{SD}} = \dfrac{1}{2}.1.1 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.MCD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.MNCD}} = {V_{S.MNC}} + {V_{MCD}} = \dfrac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\\{V_{ABCDMN}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.MNCD}} = \dfrac{5}{8}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{{45}}{4}\left( {dvtt} \right)\end{array}\)  

Chọn D.