Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Giải phương trình $A = 4,$ tìm $x$ rồi đối chiều với điều kiện sau đó kết luận.

Lời giải chi tiết:

$A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} }$

a) Rút gọn $A.$

Điều kiện $x \ge 4$

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \\ = \sqrt {4 + x - 4 + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {4 + x - 4 - 4\sqrt {x - 4} } \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  + 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|\\ = \sqrt {x - 4}  + 2 + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|\end{array}$

TH1: $\sqrt {x - 4}  - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 8.$  Ta có:$A = \sqrt {x - 4}  + 2 + \sqrt {x - 4}  - 2 = 2\sqrt {x - 4}$

TH2: $\sqrt {x - 4}  - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 8$. Ta có: $A = \sqrt {x - 4}  + 2 - \sqrt {x - 4}  + 2 = 4$

Vậy $x \ge 8$  thì $A = 2\sqrt {x - 4}$

Với $4 \le x < 8$  thì  $A = 4.$

b) Tìm $x$  để  $A = 4.$

Theo câu a) ta có TH1: Với $4 \le x < 8$  thì $A = 4.$

Với TH2: $x \ge 8$

$A = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 4}  = 4 \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$

Vậy $x = 8$  thì  $A = 4.$

Kết hợp 2 trường hợp ta được $4 \le x \le 8$ thì $A = 4.$