Phương pháp giải:

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông và định lí cosin trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

Xét $\left( {SIH} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SIH} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\IH \subset \left( {SIH} \right);\,\,BC \subset \left( {SBC} \right)\\IH\parallel BC\end{array} \right.$$\Rightarrow \left( {SIH} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d$ với $d$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $IH,\,\,BC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot SC$.

Mà $BC\parallel d \Rightarrow SC \bot d$.

Ta có $IH\parallel BC,\,\,BC \bot \left( {SAC} \right)$$\Rightarrow IH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow IH \bot SH$.

Mà $IH\parallel d \Rightarrow SH \bot d$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SIH} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\\\left( {SIH} \right) \supset SH \bot d\\\left( {SBC} \right) \supset SC \bot d\end{array} \right.$

$\Rightarrow \angle \left( {\left( {SIH} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SH;SC} \right) = \angle HSC = \alpha$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ có $AB = 2a$ nên $AC = BC = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2$.

$\Rightarrow AH = HC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:

$\begin{array}{l}SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \\SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array}$

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $SHC$ ta có:

$\begin{array}{l}\cos \angle HSC = \dfrac{{S{H^2} + S{C^2} - H{C^2}}}{{2SH.SC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{2} + 3{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}$

Vậy $\cos \alpha  = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Chọn B.