Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều: \(V = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( { - {x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - {z^2}} \right)} \)

\( = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {36 - 2{x^2}} \right)\left( {36 - 2{y^2}} \right)\left( {36 - 2{z^2}} \right)} \)

Áp dụng BĐT Cô si ta có \(\left( {36 - 2{x^2}} \right)\left( {36 - 2{y^2}} \right)\left( {36 - 2{z^2}} \right)\)\( \le {\left( {\dfrac{{36 - 2{x^2} + 36 - 2{y^2} + 36 - 2{z^2}}}{3}} \right)^3}\)

\( = {\left( {\dfrac{{36.3 - 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{36.3 - 2.36}}{3}} \right)^3} = 1728\)

\( \Rightarrow V \le \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}.\sqrt {1728}  = 2\sqrt 6 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 2\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{\max }} = 2\sqrt 6 \)

Chọn B.