Phương pháp giải:

- Xác định $\alpha  = \angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {SAD} \right)} \right)$, $\beta  = \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {SAD} \right)} \right)$.

- Khi đó góc giữa $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ bằng $\beta  - \alpha$.

- Sử dụng công thức $\sin \left( {\beta  - \alpha } \right) = \sin \beta \cos \alpha  - \cos \beta \sin \alpha$

Lời giải chi tiết:

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$.

Trong $\left( {SAD} \right)$ kẻ $AH \bot SD$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SD$

$\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SD\\AH \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow SD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow AD \bot BH$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SD\\\left( {SAD} \right) \supset AH \bot SD\\\left( {SBD} \right) \supset BH \bot SD\end{array} \right.$

$\Rightarrow \angle \left( {\left( {SAD} \right);\left( {SBD} \right)} \right) = \angle \left( {AH;BH} \right)$

$\Rightarrow \alpha  = \angle AHB$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$.

Kẻ $EK \bot SD\,\,\left( {K \in SD} \right)$, tương tự ta chứng minh được $\beta  = \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {SAD} \right)} \right) = \angle EKC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là $\beta  - \alpha$.

Ta có $\sin \left( {\beta  - \alpha } \right) = \sin \beta \cos \alpha  - \cos \beta \sin \alpha$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông  ta có: $AH = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}$$= \dfrac{{a\sqrt 2 .2a}}{{\sqrt {2{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

$\Rightarrow EK = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$ (tính chất đường trung bình).

Do $AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AH$ $\Rightarrow \Delta ABH$ vuông tại $A$.

$\sin \beta  = \dfrac{{CE}}{{CK}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Rightarrow \cos \beta  = \dfrac{1}{2}$.

Do $CE \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CE \bot EK$$\Rightarrow \Delta CK$ vuông tại $E$.

$\sin \alpha  = \dfrac{{AD}}{{DH}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$$\Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}$.

Vậy $\sin \left( {\beta  - \alpha } \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{2\sqrt 7 }}{7} - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt {21} }}{7} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{14}}$.

Chọn D.