Phương pháp giải:

Tìm chân đường cao hạ từ $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$

Tìm góc giữa mp$\left( {SCD} \right)$ và mp$\left( {ABCD} \right)$ rồi tính góc đó.

Lời giải chi tiết:

Qua $S$ kẻ $SH \bot AB$$\left( {H \in AB} \right)$, ta có:

    $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB\\SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$

Qua $H$ kẻ $HK//AD$ mà $AD \bot CD$  nên $HK \bot CD$   (1)

$SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot CD$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK$

Suy ra góc tạo bởi hai mp $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa $SK$ và $HK$ hay $\beta  = \widehat {SKH}$

Tam giác $SAB$ vuông tại $S$ có đường cao $SH$ nên $\dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{S{B^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2} - S{A^2}}} \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a$

$HK//AD \Rightarrow HK = AD = 2a$

Suy ra $\tan \beta  = \dfrac{{SH}}{{HK}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$

Chọn A.