Phương pháp giải:

Xác định góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy.

Tính cạnh của tam giác đáy qua thể tích.

Lời giải chi tiết:

$S.ABC$ là hình chóp đều nên $SA = SB = SC$ và $AB = BC = CA$

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Do $S.ABC$ là hình chóp đều nên $G$ là chân đường cao hạ từ $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Suy ra $SG = a$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $C,G,M$ thẳng hàng và $CM \bot AB$

Ta có :

    $\left. \begin{array}{l}SG \bot \left( {BAC} \right) \Rightarrow SG \bot AB\\CM \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SCM} \right) \Rightarrow AB \bot SM$

Do đó góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc giữa $SM$ và $CM$ hay là góc $\widehat {SMC}$.

Lại có :

     ${V_{S.ABC}} = \sqrt 3 {a^3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}SG.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}A{B^2} = \sqrt 3 {a^3} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}a.A{B^2} = \sqrt 3 {a^3} \Rightarrow AB = 2\sqrt 3 a$

Tam giác $ABC$ đều nên $CM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.2\sqrt 3 a = 3a \Rightarrow MG = \dfrac{1}{2}CM = a$

Suy ra $\tan SMG = \dfrac{{SG}}{{MG}} = \dfrac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SMG} = 45^\circ$

Vậy góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng $45^\circ$.

Chọn B.