Phương pháp giải:

Dùng công thức tính diện tích hình thang và tam giác.

Dung hệ thức lượng trong tam giác.

Áp dụng công thức để tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

+) Kẻ \(CK \bot AD \Rightarrow CK = KD = 2a\)

Mà \(\Delta CKD\) vuông tại C nên \(CD = 2\sqrt 2 a.\)

Kẻ \(AH \bot CD\) mà \(SA \bot CD\left( {doSA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow SH \bot CD\)

Nên góc giữa \(\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)\) là \(\angle SHA \Rightarrow \angle SHA = 60^\circ .\)

Mặt khác ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = {S_{ACD}} + {S_{ABC}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {BC + AD} \right)AB}}{2} = \frac{{AH.CD}}{2} + \frac{{AB.BC}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {a + 3a} \right).2a = AH.2\sqrt 2 a + 2a.a\\ \Leftrightarrow AH = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}a\end{array}\)

+)\(\Delta SAH\) vuông tại A có \(\angle SHA = 60^\circ  \Rightarrow SA = \tan 60^\circ .AH = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}a\)

+)\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 6 }}{2}a.\frac{{\left( {a + 3a} \right).2a}}{2} = 2\sqrt 6 {a^3}.\)

Chọn B.