Phương pháp giải:

Tính chiều cao của hình chóp.

Áp dụng công thức để tính thể tích hình chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD cạnh bằng a\( \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Mà S.ABCD là chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại O có \(SA = a;AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp ta có:

\(V = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.\)

Chọn B.