Phương pháp giải:

Tính thể tích \({V_{ABCC'B'}}\) theo thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Lời giải chi tiết:

Gọi H  là trung điểm của \(BC\).Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AH \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BC \bot AA'\,\,\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right)\).

Mà \(A'H \subset \left( {AA'H} \right) \Rightarrow BC \bot A'H\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {A'BC} \right) \supset A'H \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AH \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'H;AH} \right) = \angle A'HA = {60^0}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\)\( \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(AA'H\) vuông tại \(A\)có \(\angle A'HA = {60^0}\)\( \Rightarrow A'A = AH\tan {60^0} = \dfrac{3}{2}a.\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({V_{ABCC'B'}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Chọn B.