Câu hỏi:
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(BC = 2AB = 2SB = 2a\), góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là
Phương pháp giải:
- Xác định góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) để tính độ dài đường cao \(h\) của khối chóp.
- Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng \(h,\) diện tích đáy bằng \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)
Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SB\) và \(BH\)
Suy ra \(\widehat {SBH} = {45^0}\).
Tam giác \(SBH\) vuông tại H có \(\widehat {SBH} = 45^\circ ,\,\,\,SB = a\) nên \(SH = SB.\sin SBH = a.\sin 45^\circ = \dfrac{{\sqrt 2 a}}{2}\).
Vậy thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.AB.BC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 2 a}}{2}.a.2a = \dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).
Chọn A.