Phương pháp giải:

Hàm số lẻ là hàm số có dạng $f\left( x \right) =  - f\left( { - x} \right)$

Hàm số chẵn là hàm số có dạng $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có hàm số

$\begin{array}{l}y\left( x \right) = \sin x.co{{\rm{s}}^2}x + \tan x\\ \Rightarrow y\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right).c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right)\\ \Leftrightarrow y\left( { - x} \right) =  - \sin \left( x \right).c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( x \right) - \tan \left( x \right)\\ \Rightarrow y\left( x \right) =  - y\left( { - x} \right)\end{array}$

Vậy đây là hàm số lẻ.

Chọn A.