Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}h.S\)

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\) ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 5 \)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\)

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2}}  = 2a\)

Thể tích khối chóp: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2a.2a.a = \dfrac{4}{3}{a^3}.\)

Chọn B.