Phương pháp giải:

- Áp dụng định lí Menelaus.

- Dùng tỉ lệ giữa thể tích hai khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Gọi \(SI \cap AE = \left\{ H \right\}\)

Trong \(\left( {SBD} \right)\), từ \(H\) kẻ đường thẳng song song với BD cắt \(SB,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \equiv \left( {AMEN} \right)\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SIC ta có: \(\dfrac{{AC}}{{AI}}.\dfrac{{HI}}{{HS}}.\dfrac{{SE}}{{EC}} = 1\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AI}} = 2\).

Theo giả thiết ta có \(\dfrac{{SE}}{{EC}} = \dfrac{1}{2}\)

Dó đó \(2.\dfrac{{HI}}{{HS}}.\dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{HI}}{{HS}} = 1 \Rightarrow H\)là trung điểm của \(SI\).

Xét \(\Delta SBI\) có: \(H\) là trung điểm của \(SI,\,\,SM\parallel BI \Rightarrow M\) là trung điểm của \(SB\) (Tính chất đường trung bình của tam giác).

CMTT ta có \(N\) là trung điểm của \(SD\).

Ta có: \({V_{S.AMEN}} = {V_{S.MAE}} + {V_{S.AEN}}\)

                     \(\begin{array}{l} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SC}}.{V_{S.ABC}} + \dfrac{{SN}}{{SD}}.\dfrac{{SE}}{{SC}}.{V_{S.ACD}}\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.{V_{S.ABCD}}\\ = \dfrac{V}{6}.\end{array}\)

Chọn C