Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh tính khoảng cách.

- Dùng hệ thức lượng trong tam giác.

- Sử dụng phương pháp tìm GTNN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(AO \cap \left( {SBC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2.\).

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}.2a = a\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(OH \bot BC\), trong \(\left( {SOH} \right)\) kẻ \(OK \bot SH\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow BC \bot OK\\\left\{ \begin{array}{l}OK \bot BC\\OK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK = a\end{array}\)

Đặt độ dài cạnh đáy bằng \(2x\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow OH = x\).

Xét \(\Delta SOH\)vuông tại \(O\) có đường cao \(OK\):

\(\dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{K^2}}}\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} \Leftrightarrow SO = \dfrac{{xa}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}.\)

Thể tích hình chóp: \(V = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{xa}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}.4{x^2} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{{x^3}.a}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}\).

Ta có: \(V' = \dfrac{4}{3}\left( {\dfrac{{3a{x^2}\sqrt {{x^2} - {a^2}}  - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}.a{x^3}}}{{{x^2} - {a^2}}}} \right)\).

\( \Leftrightarrow V' = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{3a{x^2}\left( {{x^2} - {a^2}} \right) - a.{x^4}}}{{\left( {{x^2} - {a^2}} \right)\sqrt {{x^2} - {a^2}} }} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{2a{x^4} - 3{a^3}{x^2}}}{{\left( {{x^2} - {a^2}} \right)\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}\)

Cho \(V' = 0 \Leftrightarrow 2a{x^4} - 3{a^3}{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}a\left( {2{x^2} - 3{a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {loai} \right)\\x = a\sqrt {\dfrac{3}{2}} \end{array} \right.\)

Khi đó \({V_{\min }} = V\left( {a\sqrt {\dfrac{3}{2}} } \right) = 2\sqrt 3 {a^3}.\)

Chọn C