Phương pháp giải:

$d = UCLN\left( {a\,;\,\,b} \right)\,\,\,\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Biểu diễn $a,\,\,b$ thông qua $d$ ; biểu diễn $BCNN\left( {a;b} \right)$thông qua $a,\,\,b,\,\,d$ và dựa vào giả thiết tổng của $UCLN$ và $BCNN$ là $10$ để tìm $a\,,\,\,b$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $d = UCLN\left( {a\,;\,\,b} \right)\,  \,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = d.m\,\,;\, & b = d.n & \left( {\left( {m\,;\,\,n} \right) = 1\,\,;\,\,\,m > n} \right)\\ \Rightarrow BCNN\left( {a\,;\,\,b} \right) = d.m.n\end{array}$

Ta có: $BCNN\left( {a\,;\,\,b} \right) + UCLN\left( {a\,;\,\,b} \right) = 10$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d.m.n + d = 10\\ \Rightarrow d.\left( {m.n + 1} \right) = 10\end{array}$

$\Rightarrow 10$ chia hết cho $d$.

Mà $d \in {\mathbb{N}^*}\,\,\, \Rightarrow d \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,5\,;\,\,10} \right\}$

+) Với $d = 1$ thì $m.n + 1 = 10\,\, \Rightarrow m.n = 10 - 1 = 9$

Mà $\left( {m\,;\,\,n} \right) = 1\,\,;\,\,m > n\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 9\\n = 1\end{array} \right.\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 1\end{array} \right.$

+) Với $d = 2$ thì $m.n + 1 = 5\, \Rightarrow m.n = 5 - 1 = 4$

Mà $\left( {m\,;\,\,n} \right) = 1\,\,;\,\,m > n\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 1\end{array} \right.\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 2\end{array} \right.$

+) Với $d = 5$ thì $m.n + 1 = 2\,\, \Rightarrow m.n = 2 - 1 = 1$

Mà $\left( {m\,;\,\,n} \right) = 1\,\,;\,\,m > n\,\,\, \Rightarrow$ không có giá trị $m,\,\,n$ thỏa mãn.

+) Với $d = 10$ thì $m.n + 1 = 1\,\, \Rightarrow m.n = 1 - 1 = 0$ (Vô lí)

Vậy các cặp $\left( {a\,;\,\,b} \right)$ thỏa mãn đề bài là $\left( {9;\,\,1} \right)\,;\,\,\,\,\,\,\left( {8;\,\,2} \right).$.

Chọn A.