Phương pháp giải:

Cho số phức $z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi.$

Modun của số phức $z = x + yi:\;\;\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .$

Lời giải chi tiết:

Ta có:  ${\rm{w}} = \frac{{4 + iz}}{{1 + z}} \Rightarrow {\rm{w}}\left( {1 + z} \right) = 4 + iz \Leftrightarrow z\left( {{\rm{w}} - i} \right) = 4 - {\rm{w}}$

$\Rightarrow \sqrt 2 \left| {{\rm{w}} - i} \right| = \left| {4 - {\rm{w}}} \right|.\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Đặt ${\rm{w}} = x + yi\,\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 .\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 1} \right) = {x^2} - 8x + 16 + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 8x - 4y - 14 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 16 + {y^2} - 4y + 4 - 34 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 34\end{array}$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}}$ là đường tròn tâm $\left( { - 4;\,\,2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {34} .$

Chọn  A.