Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\).

+ \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

+ \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số là hàm số chẵn.

    \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số là hàm số lẻ.

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: Hàm số \(y = \sin x + 2\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) thỏa mãn là tập đối xứng.

Do đó \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Xét \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) + 2 =  - \sin x + 2 \ne  \pm f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số \(y = \sin x + 2\) là hàm số không chẵn, không lẻ.

\( \Rightarrow \) Khẳng định A đúng.

Xét đáp án B: Hàm số \(y = \frac{{\sin x}}{x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn là tập đối xứng.

Do đó \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Xét \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\sin \left( { - x} \right)}}{{ - x}} = \frac{{ - \sin x}}{{ - x}} = \frac{{\sin x}}{x} = f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số \(y = \frac{{\sin x}}{x}\) là hàm số chẵn.

\( \Rightarrow \) Khẳng định B đúng.

Xét đáp án C: Hàm số \(y = {x^2} + \cos x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) thỏa mãn là tập đối xứng.

Do đó \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Xét \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \cos \left( { - x} \right) = {x^2} + \cos x = f\left( x \right)\) Hàm số \(y = {x^2} + \cos x\) là hàm số chẵn.

\( \Rightarrow \) Khẳng định C đúng.

Xét đáp án D: Hàm số \(y = \left| {\sin x - x} \right| - \left| {\sin x + x} \right|\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) thỏa mãn là tập đối xứng.

Do đó \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Xét

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \left| {\sin \left( { - x} \right) - \left( { - x} \right)} \right| - \left| {\sin \left( { - x} \right) + \left( { - x} \right)} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left| { - \sin x + x} \right| - \left| { - \sin x - x} \right| = \left| {\sin x - x} \right| - \left| {\sin x + x} \right| =  - f\left( x \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \)  Hàm số \(y = \left| {\sin x - x} \right| - \left| {\sin x + x} \right|\) là hàm số chẵn.

\( \Rightarrow \) Khẳng định D sai.

Chọn D.