Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in D \Rightarrow x + T \in D\\f\left( x \right) = f\left( {x + T} \right)\end{array} \right.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

A. Sai vì \(f\left( {x + 2\pi } \right) = x + 2\pi  + \sin \left( {x + 2\pi } \right) = x + \sin x + 2\pi  \ne f\left( x \right)\)

B. Đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R} \Rightarrow  - x \in \mathbb{R}\\f\left( { - x} \right) =  - x.\cos \left( { - x} \right) =  - x\cos x =  - f\left( x \right)\end{array} \right.\)

C. Đúng vì hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)\)

Chọn A