Phương pháp giải:

$\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số lẻ và có đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ $O.$

$\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số chẵn và có đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung $Oy.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right| \ge x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  - x \ne 0$ với mọi $x$.

Suy ra TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Mặt khác  $\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right| \ge  - x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + x \ne 0$ do đó

$f(x) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)}} - 2{x^2} - 1 = \frac{{{x^2} + 2x\sqrt {{x^2} + 1}  + {x^2} + 1}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}} - 2{x^2} - 1 = 2x\sqrt {{x^2} + 1}$

Với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $- x \in \mathbb{R}$  và $f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right)\sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}  =  - 2x\sqrt {{x^2} + 1}  =  - f\left( x \right)$

Do đó $f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}} - 2{x^2} - 1$ là hàm số lẻ.

Chọn A.