Phương pháp giải:

\(\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ và có đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ \(O.\)

\(\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và có đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung \(Oy.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right| \ge x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  - x \ne 0\) với mọi \(x\).

Suy ra TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Mặt khác  \(\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right| \ge  - x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + x \ne 0\) do đó

\(f(x) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)}} - 2{x^2} - 1 = \frac{{{x^2} + 2x\sqrt {{x^2} + 1}  + {x^2} + 1}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}} - 2{x^2} - 1 = 2x\sqrt {{x^2} + 1} \)

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\)  và \(f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right)\sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}  =  - 2x\sqrt {{x^2} + 1}  =  - f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}} - 2{x^2} - 1\) là hàm số lẻ.

Chọn A.