Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $E,\,\,F.$

Xét xem điểm $A,\,\,B$ có nằm cùng phía với $d$ hay không.

TH1: Nếu $A,\,\,B$ nằm cùng phía với $d$ ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm $M.$

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $\left| {MA - MB} \right| \le AB \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right|\,\,\,Max = AB$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}$ với  $\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.$

$\Rightarrow A,\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap AB = \left\{ M \right\}.$

TH2: Nếu $A,\,\,B$ nằm khác phía với $d$ ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm $M.$

+) Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d.$

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B$

$\Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).$

$\Rightarrow A',\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap A'B = \left\{ M \right\}.$

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng $d$  đi qua $E,\,\,F$ là: $d:\,\,\frac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{3 - 0}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) =  - y \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0.$

Thay tọa độ điểm $A,\,\,B$ vào biểu thức: $f\left( {x;\,\,y} \right) = 3x + y - 3$ ta được:

$\left( {3.3 + 4 - 3} \right)\left( {3.\left( { - 2} \right) + 1 - 3} \right) = 10.\left( { - 8} \right) =  - 80 < 0$

$\Rightarrow A,\,\,B$ nằm khác phía với đường thẳng $d.$

Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d.$

Phương trình đường thẳng $AA'$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ là:

$x - 3 - 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 9 = 0.$

Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $AA'.$ Khi đó $I$ là trung điểm của$AA'$ và tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 3 = 0\\x - 3y + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,3} \right).\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A} = 2.0 - 3 =  - 3\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\,2} \right).\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B$

$\Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).$

$\Rightarrow A',\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap A'B = \left\{ M \right\}.$

Phương trình đường thẳng $A'B:\,\,\,\frac{{x + 3}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow  - x - 3 = y - 2 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0.$

$\Rightarrow$ Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\3x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\, - 3} \right).$

Chọn  D.