Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất trung điểm và tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {IM}  = \left( { - \frac{3}{2};\, - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2}\left( {1;\,\,1} \right) \Rightarrow IM = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.$

Vì $IM$ là đường trung bình của $\Delta ADC \Rightarrow IM = \frac{1}{2}DC \Rightarrow DC = 2.IM = 3\sqrt 2 .$

Lại có:

$\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = AD.CD = 12 \Leftrightarrow AD.3\sqrt 2  = 12\\ \Leftrightarrow AD = 2\sqrt 2  = 2AM \Rightarrow AM = \sqrt 2 .\end{array}$

Đường thẳng $AD$ đi qua $M$ và vuông góc với $IM$ nhận vetco $\left( {1; - 1} \right)$ làm VTPT

$\Rightarrow AD:\,\,\,x - 3 - y = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0.$

Ta có: $A \in AD \Rightarrow A\left( {a;\,\,a - 3} \right)\,\,\,\,\,\left( {a > 3} \right).$ 

Lại có: $AM = \sqrt 2  \Leftrightarrow A{M^2} = 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {a - 3} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a - 3} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 3 = 1\\a - 3 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = 2\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy $A\left( {4;\,\,1} \right).$

Chọn  B.